El humilde triángulo

Todo el mundo sabe lo que es un triángulo, lo hemos estudiado en la escuela, y es una de las figuras de la geometría plana más antigua, conocida y estudiada a lo largo de toda la Historia y de todas las civilizaciones humanas, en especial por los antiguos egipcios y griegos, dada su proximidad cultural a nosotros.

Es la figura plana más simple que existe, formada únicamente por tres segmentos que definen un área con tres lados, tres ángulos y tres vértices. Pero a pesar de su simplicidad no deja por ello de ser una de las más bellas, equilibradas y al mismo tiempo complejas, que como se vera no entra en contradicción con su simplicidad. Por ello no deja de asombrarnos y cuanto más se la estudia y conoce más secretos nos revela y probablemente todavía encierre varios secretos que tal vez algún día se descubran.

Casi todo el mundo recuerda cómo se halla el área o superficie de un triángulo. La superficie de un triángulo se obtiene como el producto de una cualquiera de sus bases por la altura correspondiente y todo dividido por dos:




Ya en el Siglo II después de Jesucristo, Herón de Alejandría obtuvo una de las más bellas fórmulas de la geometría que permite calcular la superficie de un triángulo cualquiera conociendo la longitud de sus tres lados, “a”, “b” y “c”.  Esta fórmula es la siguiente:




donde la “s” minúscula es el semiperímetro del triángulo, es decir:




El área también se puede expresar como el producto del semiperímetero “s”, por el radio “r”, de la circunferencia inscrita en el triángulo. Las aplicaciones geométricas a los triángulos son casi infinitas.

Pero tal vez una de las maravillas más desconcertantes y escondidas de los triángulos planos es que algunos de sus puntos singulares como el ortocentro (O), el circuncentro (Ci) y el baricentro (G) o centro de gravedad, estos tres puntos singulares están alineados en una recta.

Como explicación se puede decir que el ortocentro (O), es el punto que se obtiene de las intersección de las tres alturas del triángulo; el circuncentro (Ci), es el punto que resulta de la intersección de las tres rectas perpendiculares a los lados y que pasan por su punto medio, llamadas mediatrices y que es también el centro de la circunferencia que pasa simultáneamente por los tres vértices del triángulo; el baricentro (G) o centro de gravedad, es a su vez el punto donde se intersectan las tres medianas del triángulo (las rectas que unen cada vértice con el punto medio del lado opuesto).

Esta sorprendente propiedad fue descubierta en tiempos bastante recientes por el gran matemático suizo Leonhard Paul Euler, 1707-1783.

Existe otro punto singular en el triángulo, que se denomina incentro (I), que se obtiene como la intersección de las tres bisectrices del triángulo y que es el centro de la única circunferencia inscrita en el triángulo.

Esta curiosa propiedad se había resistido a los matemáticos y geometrías durante casi dos mil años desde los tiempos de los filósofos griegos; y eso que éstos fueron los inventores y maestros de la geometría.

Esta recta con toda lógica y merecimiento tiene el honor de llamarse “Recta de Euler”. Pero por si esto no fuera poco, estos tres puntos no están alineados en la recta de Euler formando un segmento cualquiera. La distancia entre el circuncentro (Ci) y el baricentro (G) es 1/3 de la distancia entre el circuncentro (Ci) y el ortocentro (O), y por tanto la distancia entre el baricentro (G) y el ortocentro (O) es de 2/3 del segmento de Euler.
Si ahora se traza una circunferencia con centro en el punto medio del segmento de Euler (Ce), y con radio de manera que pase por uno de los puntos medios de cualquiera de los lados del triángulo en cuestión, comprobamos con asombro que pasa simultáneamente por los otros dos puntos medios, puntos 2, 4 y 8 de la figura número 6, y además por los otros tres puntos de los lados que se obtienen de proyectar las tres alturas del triángulo, como rectas que parten de uno de los vértices y son perpendiculares el lado opuesto y que nos han servido para determinar el ortocentro (O) del triángulo, puntos 1, 5 y 7.

Por tanto pasa por seis puntos singulares. Pero eso no es todo, esta misma circunferencia pasa también por otros tres puntos singulares que son los puntos medios de los tres segmentos que se obtienen de unir el ortocentro (O) con el vértice opuesto, puntos números 3, 6 y 9. Con todo merecimiento a esta circunferencia se la conoce como la de los 9 puntos.

El humilde triángulo no deja de asombrarnos con sus secretos escondidos. ¿Qué otros nuevos secretos nos tendrá todavía reservados? Tal vez sólo Dios lo sepa.

Este humilde artículo está dedicado a todos los lectores que tengan el gusto de leerlo y al maestro Asimov.

Alicante, Noviembre de 2014.

Antonio González

Doctor Arquitecto EPS

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